„Rovnice matematické fyziky“ - kurz 2800 rub. z MSU, školení 15 týdnů. (4 měsíce), Datum: 30. listopadu 2023.
Různé / / December 02, 2023
Kurz je určen bakalářům, magistrům a specialistům se specializací na matematické, inženýrské nebo přírodovědné obory a také vysokoškolským učitelům. Cílem předmětu je uvést studenta do řady klasických problémů v oblasti rovnic s matematickou fyzikou a naučit jej základním metodám studia těchto rovnic. Předmět zahrnuje klasickou látku o rovnicích matematické fyziky (parciální diferenciální rovnice) v rámci jednoho semestru studia. Části „Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu“, „Klasifikace lineárních rovnic“, „Vlnová rovnice“, „Parabolická rovnice“, „Základní řešení“, „Laplaceova rovnice.“ Seznámíme se s klasickými formulacemi problémů – Cauchyho problémem, hraniční problém. Osvojme si základní metody studia rovnic - přímá integrace, metoda pokračování řešení, Fourierova metoda, metoda fundamentálních řešení, metoda potenciálů. Odvození těchto rovnic si budeme často připomínat v úlohách matematické fyziky a limity použitelnosti našich modelů.
Forma studia
Korespondenční kurzy využívající technologie dálkového studia
Požadavky na přijetí
Dostupnost VO nebo SPO
2
chodDoktor fyzikálních a matematických věd, Profesor Funkce: Profesor Katedry základní a aplikované matematiky Fakulty kosmického výzkumu Moskevské státní univerzity pojmenované po M. V. Lomonosovovi
1. První setkání.
Úvodní slovo. Základní principy práce s rovnicemi matematické fyziky. Příklady jednoduchých rovnic. Klasifikace. Řešení jednoduchých rovnic jejich redukcí na obyčejné diferenciální rovnice. Nahrazení proměnných v rovnici.
2. Rovnice prvního řádu – lineární a kvazilineární.
Lineární rovnice. Nalezení vhodné náhrady - sestavení a řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. První integrály soustavy. Charakteristika. Kvazilineární rovnice. Hledání řešení v implicitní podobě.
3. Cauchy problém. Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu.
Prohlášení o Cauchyho problému. Věta o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyho problému. Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu s konstantními koeficienty. Redukce na kanonickou formu.
4. Hyperbolické, parabolické a eliptické rovnice.
Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu s proměnnými koeficienty v rovině. Hyperbolický, parabolický a eliptický typ. Řešení hyperbolických rovnic. Problémy s počátečními a okrajovými podmínkami.
5. Řetězcová rovnice.
Jednorozměrná vlnová rovnice na celé ose. Dopředná a zpětná vlna. d'Alembertův vzorec. Duhamelův integrál. Okrajové podmínky pro rovnici na poloose. Základní typy okrajových podmínek. Pokračování řešení. Případ konečného segmentu.
6. Fourierova metoda využívající jako příklad řetězcovou rovnici.
Myšlenka Fourierovy metody. Prvním krokem je najít základ. Druhým krokem je získání obyčejných diferenciálních rovnic pro Fourierovy koeficienty. Třetím krokem je zohlednění počátečních údajů. Konvergence řad.
7. Difúzní rovnice (konečný segment).
Odvození rovnice. Zadání problémů (počáteční a okrajové podmínky). Fourierova metoda. Zohlednění pravé strany a nehomogenity v okrajových podmínkách. Konvergence řad.
8. Difúzní rovnice (celá osa).
Fourierova transformace, inverzní vzorec. Řešení rovnice pomocí Fourierovy transformace. Věta – zdůvodnění metody (dva případy). Poissonův vzorec. Případ rovnice s pravou stranou.
9. Zobecněné funkce.
Psaní Poissonova vzorce jako konvoluce. Záznam ve formě konvoluce řešení tepelné rovnice na konečném segmentu. Schwartzova třída. Příklady funkcí ze třídy. Definice zobecněných funkcí, souvislost s klasickými funkcemi. Násobení zobecněné funkce základní funkcí, derivace. Konvergence zobecněných funkcí. Příklady generických funkcí.
10. Práce s generickými funkcemi.
Řešení obyčejných diferenciálních rovnic ve zobecněných funkcích. Fourierova transformace zobecněných funkcí. Konvoluce. Přímý produkt. Nosič zobecněné funkce. Řešení nehomogenní jednorozměrné tepelné rovnice pomocí fundamentálního řešení. Základní řešení běžného diferenciálního operátoru na intervalu.
11. Základní řešení.
Odvození Poissonova vzorce pro vícerozměrnou rovnici tepla. Odvození Kirkhoffova vzorce. Odvození Poissonova vzorce pro vlnovou rovnici. Řešení úloh metodou separace proměnných, metodou superpozice.
12. Laplaceova rovnice.
Odvození Laplaceovy rovnice. Vektorové pole – potenciál, proudění povrchem. Objemový potenciál. Jednoduchý vrstvový potenciál. Dvouvrstvý potenciál. Logaritmický potenciál.
13. Dirichletův problém, Neumannův problém a Greenova funkce.
Harmonické funkce. Slabý extrémní princip. Harnackův teorém. Přísný princip maxima. Věta o jednoznačnosti. Věta o střední hodnotě. Nekonečná hladkost. Liouvilleova věta. Greenův vzorec. Greenova funkce, její vlastnosti. Řešení Poissonovy úlohy s Dirichletovými podmínkami pomocí Greenovy funkce. Jiné okrajové problémy. Konstrukce Greenovy funkce reflexní metodou.
14.Vícerozměrná Fourierova metoda.
Řešení úloh pomocí Fourierovy metody. Různé okrajové podmínky. Besselovy funkce. Legendrův polynom. Recenze absolvovaného kurzu. Shrnutí.