Analytická geometrie - bezplatný kurz od Open Education, školení 13 týdnů, cca 5 hodin týdně, datum 29. listopadu 2023.

Ocenění a úspěchy Cena ruské vlády v oblasti vzdělávání za rok 2010, Ctěný učitel MIPT.

Kurz se skládá z 12 školicích týdnů a jednoho zkušebního týdne

1. týden Matice

01.00 Úvod

01.01 Definice matice

01.02 Operace s maticemi

01.02.01 Problém. Výpočet lineární kombinace matic

02/01/02 Problém. Hledání transponované matice

01.03 Součin matic. Část 1

01.04 Součin matic. Část 2

04/01/01 Problém. Výpočet součinu matic

04/01/02 Problém. Kontrola existence produktu a jeho výpočet 

04/01/03 Problém. Výpočet matice na n-tou mocninu. Příklad 1

04/01/04 Problém. Výpočet matice na n-tou mocninu. Příklad 2

04/01/05 Problém. Výpočet maticového polynomu

04/01/06 Problém. Kontrola platnosti maticové rovnosti

04/01/07 Problém. Výpočet matice na číselnou mocninu

01.05 Maticový determinant

01.05.01 Problém. Výpočet determinantu matice

01.06 Cramerovo pravidlo

06/01/01 Problém. Řešení soustavy lineárních rovnic Cramerovou metodou

2. týden vektory

02.01 Určení směrovaného segmentu, vektor

02.02 Opakování z kurzu školní geometrie 

02.02.01 Problém. Důkaz nerovnosti pro čtyřúhelník v prostoru

02.02.02 Problém. Důkaz rovnosti pro n-úhelník

02.03 Lineární kombinace vektorů

02.04 Lineární závislost a nezávislost vektorů 

02.05 Kritérium pro lineární závislost soustavy vektorů

02.06 Základ

02.06.01 Problém. Hledání vektorových souřadnic

02.06.02 Problém. Zjištění souřadnic kvádru pomocí vektorů

02.07 Výměna základny

07/02/01 Problém. Nalezení souřadnic hranolového bodu v novém souřadnicovém systému

07/02/02 Problém. Nalezení souřadnic bodu rovnoběžníku v novém souřadnicovém systému

02.08 Kartézský souřadnicový systém (DCS)

02.08.01 Problém. Kontrola, že vektory tvoří základ

02.09 Výměna ODSC

02.09.01 Problém. Hledání souřadnic počátku a základních vektorů v nových a starých souřadnicových systémech

02.09.02 Problém. Nalezení souřadnic vektoru v nové bázi pomocí souřadnic ve staré bázi

3. týden Součin vektorů

03.01 Bodový součin vektorů

03.02 Projekce vektoru na nenulový vektor

03.03 Vlastnosti skalárního součinu vektorů. Část 1

03.04 Vlastnosti skalárního součinu vektorů. Část 2

04/03/01 Problém. Zjištění délek stran a úhlů rovnoběžníku pomocí bázových vektorů

04/03/02 Problém. Nalezení ortogonálního průmětu vektoru na přímku

03.05 Orientace základen. Orientované objemy a plochy

03.06 Smíšený součin vektorů. Část 1

03.07 Smíšený součin vektorů. Část 2

03.08 Vektorový součin vektorů. Část 1

03.09 Vektorový součin vektorů. Část 2

03.09.01 Problém. Důkaz koplanarity vektorů

03.09.02 Problém. Nalezení oblasti trojúhelníku pomocí vektorových souřadnic

09/03/03 Problém. Důkaz rovnosti pro nekolineární vektory

09/03/04 Problém. Zjištění objemu čtyřstěnu a jeho výšky

03.10 Dvojitý křížový produkt

03.10.1 Problém. Doklad totožnosti

03.11 Vzájemný základ

4. týden Část 1. Letadlo ve vesmíru

04.01 Definice roviny v prostoru

04.02 Různé formy zápisu rovnice roviny

04.03 Obecná rovinná rovnice

04.03.01 Problém. Rovinná rovnice

4. týden Část 2. Přímo v letadle. Přímka a rovina v prostoru

04.04 Přímka na rovině

04.04.01 Problém. Nalezení vektoru poloměru bodu

04.04.02 Problém. Podmínky pro průnik, rovnoběžnost a kolmost přímek v rovině

04.05 Obecná rovnice přímky na rovině. Přímka v prostoru

04.05.01 Problém. Nalezení vektoru poloměru průsečíku čar

04.05.02 Problém. Rovnice přímky protínající dvě šikmé přímky

04.05.03 Problém. Rovnice přímky procházející bodem a rovnoběžné s jinou přímkou

04.05.04 Problém. Podmínka pro průsečík přímky a roviny

04.06 Vzájemné uspořádání přímek a rovin

06/04/01 Problém. Rovnice roviny procházející bodem a rovnoběžné se dvěma přímkami

06/04/02 Problém. Rovnice roviny procházející jednou přímkou ​​a rovnoběžné s jinou přímkou

04.07 Přímka a rovina v PDSC

04.07.01 Problém. Rovnice přímek procházejících jedním bodem a stejně vzdálených od dvou dalších bodů

04.07.02 Problém. Rovnice osy úhlu mezi úsečkami

04.08 Některé metrické problémy v PDSC. Část 1

04.08.01 Problém. Rovnice přímek rovnoběžných s jinou přímkou ​​a oddělených od bodu v určité vzdálenosti

04.08.02 Problém. Obecná rovnice roviny procházející nějakým bodem a přímkou. Vzdálenost od této roviny k danému bodu

04.09 Některé metrické problémy v PDSC. Část 2

04.09.01 Problém. Vzdálenost mezi řádky

5. týden Algebraické čáry druhého řádu na rovině

05.01 Definice algebraických čar a ploch

05.02 Čáry druhého řádu v letadle. Elipsová rovnice

05.03 Rovnice pomyslné elipsy, dvojice pomyslných protínajících se čar, hyperbola, dvojice protínajících se čar

05.04 Rovnice paraboly, dvojice rovnoběžek, dvojice pomyslných rovnoběžek, dvojice shodných přímek

05.05 Střed čáry. Eliptické a hyperbolické čáry

05.05.01 Problém. Typ křivky druhého řádu definovaný nějakou rovnicí. Kanonická rovnice křivky a kanonický souřadnicový systém. Příklad 1

05.05.02 Problém. Typ křivky druhého řádu definovaný nějakou rovnicí. Kanonická rovnice křivky a kanonický souřadnicový systém. Příklad 2

05.05.03 Problém. Typ křivky druhého řádu definovaný nějakou rovnicí. Kanonická rovnice křivky a kanonický souřadnicový systém. Příklad 3

6. týden Studium vlastností elipsy, hyperboly a paraboly

06.01 Elipsa

01/06/01 Problém. Rovnice kanonické elipsy

06.02 Vlastnosti elipsy

06.03 Rovnice tečny k elipse

03/06/01 Problém. Rovnice tečen k elipse

03/06/02 Problém. Úhel mezi tečnou a osou Ox

06.04 Hyperbola

04/06/01 Problém. Excentricita hyperboly

06.05 Geometrické vlastnosti hyperboly

05/06/01 Problém. Důkaz stálosti součinu vzdálenosti od libovolného bodu hyperboly k jejím asymptotám

06.06 Parabola

06.06.01 Problém. Parabolická rovnice

06.06.02 Problém. Rovnice tečen k parabole

06.07 Elipsa, hyperbola a parabola v polárním souřadnicovém systému

7. týden Povrch druhého řádu

07.01 Plocha otáčení

07.02 Elipsoid

07.03 Kužel druhého řádu

07.04 Jednolistový hyperboloid

07.05 Přímé generátory jednovrstvého hyperboloidu

07.06 Dvoulistý hyperboloid, eliptický a hyperbolický paraboloid

06/07/01 Problém. Určení typu povrchu

06/07/02 Problém. Společné body přímky a ploch druhého řádu

06/07/03 Problém. Parametrické rovnice přímočarých generátorů dané plochy

06/07/04 Problém. Typ plochy tvořené rotací přímky

8. týden Mapování a transformace

08.01 Definice mapování a transformace

08.02 Mapování jedna ku jedné. Součin mapování

08.03 Vlastnosti součinu rovinných transformací. Souřadnicový záznam mapování

08.04 Transformace v ortogonálních rovinách

08.05 Lineární a afinní transformace

08.06 Obraz vektoru při lineární transformaci. Část 1

08.07 Obraz vektoru při lineární transformaci. Část 2

08.08 Geometrické vlastnosti afinních transformací

08.08.01 Problém. Symetrie kolem přímky

08.08.02 Problém. Afinní transformace roviny, která vezme dané přímky do sebe a daný bod do nějakého jiného bodu

08.09 Změna oblastí během afinní transformace

08.10 Obrazy linií druhého řádu pod afinní transformací

08.10.01 Problém. Typ křivky druhého řádu

08.10.02 Problém. Důkaz rovnosti součtů obsahů trojúhelníků

08.11 Rozklad afinní transformace

08.11.01 Problém. Znázornění dané afinní transformace jako produktů tří transformací

9. týden Determinanty matic n-tého řádu

09.01 Determinanty

01/09/01 Problém. Determinant řádu n. Příklad 1

01/09/02 Problém. Determinant řádu n. Příklad 2

09.02 Vlastnosti determinantu. Část 1

09.03 Vlastnosti determinantu. Část 2

09.04 Vlastnosti determinantu. Část 3

04/09/01 Problém. Vandermondův determinant

04/09/02 Problém. Determinant řádu 2n

09.05 Vzorec pro kompletní vývoj determinantu

05/09/01 Problém. Kompletní vzorec rozkladu pro matici pátého řádu

09.06 SLAU ve speciálním případě

09.07 Cramerovo pravidlo v obecném případě

10. týden Hodnost matice

10.01 Nezletilí svévolné pořadí

10.02 Pořadí matice

02/10/01 Problém. Pořadový a základní systém sloupců matice

02/10/02 Problém. Odhad hodnosti matice řádu n

02/10/03 Problém. Důkaz hodnostní nerovnosti pro všechny matice stejné velikosti

02/10/04 Problém. Nenulová moll řádu r matice hodnosti r

02/10/05 Problém. Odhad maticového pořadí

10.03 Zmenšení matice do zjednodušené podoby

10.04 Gaussova metoda

10.05 Základní vedlejší věta

05/10/01 Problém. Reprezentace matice prostřednictvím součinu matic

10.06 Věta o hodnosti matice

06/10/01 Problém. Horní mez pro hodnost součinu dvou matic

06/10/02 Problém. Důkaz o rovnosti hodnosti matice k nejvyššímu řádu jejích nezletilých

11. týden inverzní matice

11.01 Definice inverzní matice

11.02 Vyjádření prvků inverzní matice prostřednictvím prvků původní matice

 02/11/01 Problém. Výpočet inverzní matice. Příklad 1

02/11/02 Problém. Hledání inverzní matice. Příklad 2

11.03 Vlastnosti inverzní matice

03/11/01 Problém. Kontrola platnosti identity pro matriky

11.04 Další důkaz existence inverzní matice pro nesingulární čtvercovou matici

11.05 Charakteristický polynom matice

05/11/01 Problém. inverzní matice

11.06 Hamiltonova-Cayleyova věta

11.07 Elementární transformace jako násobení matic

07/11/01 Problém. Výpočet inverzní matice pomocí elementárních transformací. Příklad 1

07/11/02 Problém. Hledání inverzní matice. Příklad 2

12. týden Obecná teorie lineárních systémů

12.01 Kronecker-Capelliho věta

12.02 Fredholmova věta

12.03 Obecné řešení nehomogenních SLAE

12.04 Základní matice homogenního SLAE. Část 1

12.05 Základní matice homogenního SLAE. Část 2

05.12.01 Problém. Základní matice SLAE

05.12.02 Problém. Kontrola základní matice SLAE

05.12.03 Problém. Řešení SLAE

05.12.04 Problém. Obecný pohled na libovolnou základní matici SLAE

05/12/05 Problém. Podmínka rovnocennosti pro SLAE

12.06 Obecné řešení nehomogenních SLAE

06/12/01 Problém. Řešení SLAE

06.12.02 Problém. Kompatibilita heterogenních SLAE

13. týden závěrečná zkouška